Теоремата за непълнота (Page 2 of 2)

А какво мисли Medicine Man като спец по темата?
На мен ми се струва, че в математиката има тавтологии, но има и не-тавтологии (може би "маскирани" като такива, а може би не, а може би - и двете :-).
Защото, ако имаше само тавтологии, които по определение са винаги истинни, то тогава как би била възможна неговата проблематика?
Тогава във всяка такава система не би имало възможност за извеждане от една поредица твърдения (всичките от които-истинни) на други две твърдения-едното истинно, другото неистинно?

1/ Защо да приемам? За логическия позитивизъм (това се сещам в момента Карнап го казва 1:1) има формални (аналитични) и емпирични (синтетични) съждения-първите са необходими, вторите-контингентни. Първите са или винаги истинни (и са тавтологии), или са винаги неистинни (и са контрадикции). В логиката и математиката имаме само такива, които са аналитични-и щем, нещем-имаме и тавтологии, и контрадикции. Въпросът е как стои това във философии, които не делят така съжденията на аналитични и синтетични?
1.1/ Моят новоизкован "термин" по-горе "маска" от една страна има субективна, психологическа употреба-т.е. при "очевидните" съждения от типа "А е тъждествено на А" имаме немаскираната тавтология. В по-дълго съждение обаче (нямам такива символи на клавиатурата) може да се окаже, че след преобразуването му в по-просто и по-познато изказване, е по-кратко, то става ясно отново като тавтология, т.е. е истинно според приетите ни правила за този формален език и да ни е добре познато-например да се окаже някакъв вид тъждественост при което от А следва Б и от Б следва А.
1.2/ От друга страна маската обозначава обективно все още неоткрити истини+неспособността ни да ги различим от неистините-в този смисъл може да бъде открито качествено ново "нещо" (теоретическо качество), което да бъде присъединено към вече съществуващия корпус истини-например, че Р(х), от което вече да следва, че понеже Т(х), то можем да кажем, че и Р, и Т са част от едно по-голямо цяло, характеризиращо х.
В този смисъл трябва да се разберем дали можем да наричаме истините тавтологии и обратно, или не-или само откритите, вече известните ни истини са тавтологии, а другите не са понеже не можем да ги отличим от контрадикциите (от неистините).
И освен това-съществуват ли все още неоткритите от нас истини (и неистини), или не?
2. А що се отнася до извеждането, то ние не го правим "нарочно", а то се случва "само", и то още в основанията на математиката-в теорията на числата, нали за това иде реч при Непълнотата (втората Теорема-напр. тук пише така: For any formal effectively generated theory T including basic arithmetical truths and also certain truths about formal provability, T includes a statement of its own consistency if and only if T is inconsistent- http://en.wikipedia.org/wiki/Gödel's_incompleteness_theorems .)?
2.1/ И пак за мен интересният въпрос е-как ние разбираме, че една теория е непълна, без да сме разбрали къде (в какво) е такава тя? Нали трябва да идентифицираме нейната непълнота?
2.2/ Всъщност, доколкото разбирам, непълнотата е свързана с неразрешимостта-т.е. ние заявяваме, че системата е непълна защото се сблъскваме с нерешими в нея (с нейните правила) въпроси (или извеждаме неразрешими изводи)-но самото това твърдение, което не е част от теорията, е добре положено-не се твърди, че не можем да решим дали в теорията има или няма неразрешимост, а че просто така неразрешимост съществува.
2.3/ Не съм убеден, че твърдението за консистентността на една теория изобщо е коректно да се приема за принадлежащо й-по-скоро е неин мета-език. Но дори да го направим, то нали "мета" има до безкрайност? Затова сигурно можем да решим да не приказваме повече, отколкото е необходимо, ако случайно не сме се отказали от етикетната теория за езика.
Поздрави,

(от #20)

Кои са тези философии? (защо винаги съм си мислела, че философията е само една)

Това сигурно ли е, че е "тъждественост", а не нещо друго?
следването не е тъждественост!
А- слънцето грее
Б- топло е, горещо е, правя тен
Още ли си мислим за "тъждественост"?

Пример за: обективно НЕОТКРИТИ (може и недоказани или нерешени, ама нека са си неоткрити) ИСТИНИ?
"новото нещо" (предвид предпоставената ни НЕСПОСОБНОСТ) как се ПРИСЪЕДИНЯВА към "корпус"-а?
А, и, тоя "съществуващ корпус" как точно разбираме, че е на истини?

Ей, това мисля, че е нещо като "катарзис", не, "апогей"...
просто без коментар го оставям
щото, странно , отново съм обвинена в спам-ене.
Скъпи хора, слепи ли сте? мързи ли ви? или просто не ви се занимава......... но от това няма да излезе нищо добро! Жалко. За желанието ми, сякаш по-основателно, от на всички останали тук.
Но както и да е.
Важно е да сме живи и здрави.
Мисля да не хабя вече...каквото и да било както и да било.

Здравейте!

Според мен в дискусията между Vanq и Kosta B. се появиха много интересни въпроси. Част от тях мога да се опитам да коментирам, което и ще направя.

1.За тавтологиите. Трябваше още в самото начало да сложа “тавтологии” в кавички. Имах предвид една очевидна особеност на математиката, която рядко е предмет на обсъждане: Често, когато се появява нова математическа теория, тя се състои от очевидно безсмислени или погрешни твърдения. Това е така още при аритметиката на целите числа, която се основава на наглед безумното твърдение, че можем да вадим по-голямо от по-малко. Това е неизбежно, защото новите теории обобщават стари понятия и следователно излизат извън някаква уместна или наложена словоупотреба или интуиция. Когато, обаче, теорията се развие като вътрешно консистентна система, която може да бъде интерпретирана в други области на математиката, или пък да служи като модел на някакви емпирични феномени (започне да “върши работа”), тя става очевидно истинна, започва да звучи “почти” тавтологично. Повечето от безумните дискусии, които се проведоха тук през последните месеци, се дължаха на това, че някои хора не могат или не искат да направят прехода от първата фаза към втората. Ако, обаче, говорим за тавтологии в техническия смисъл на думата, разбира се, не можем да твърдим, че математиката се състои само от тавтологични твърдения. Според мен, дори при Карнап нещата не са толкова ясни и еднозначни, колкото ги представяте. Не че нямате основания – в Манифеста на Кръга се казва точно това, но нека не забравяме, че това все пак е манифест, с всички съответни последствия :) По отношение на математиката, поне преди Logische Syntax der Sprache, Карнап е общо взето ортодоксален логицист (всъщност, той е измислил термина “логицизъм”). Логицистите като неговия кумир Ръсел първоначално твърдят, че всички истини на математиката са сводими до логически истини, поради което са аналитични. За да си докажат тезата, те трябва да изведат всички математически истини от истини на логиката. При това извеждане, обаче, им се налага да въведат допълнителни допускания, които очевидно не са логически истинни (най-известните такива са аксиомите за безкрайност и сводимост). Този скандален “дефект” им отваря очите за факта, че някои аксиоми могат да бъдат обосновани само “прагматично” – чрез това, че от тях следват някакви неща, дето ни трябват. Затова за логицистите и в частност за Карнап тезата, че истините на математиката са аналитични не може да бъде приета без допълнителни уточнения.
2.Поставеният от Kosta B. въпрос “съществуват ли все още неоткритите от нас истини (и неистини), или не?” (който всъщност препраща към питането “Що е истина?”) за мен съвсем разбираемо остава без отговор. От това, което съм чел до този момент, мога да си направя извода, че този въпрос просто няма верен отговор (каквото и да означава “верен” в случая). [Ако ми позволите шегата: същият този въпрос е зададен от Пилат на Христос (Йоан 18: 38), но вероятно сте забелязали, че в текста не се споменава и дума за отговор. Значи, даже Бог не е успял да каже нещо смислено по въпроса:) ] Разбира се, ако някой се престраши да каже нещо в тази връзка, ще ми бъде интересно да го прочета.
3.Във връзка с непротиворечивостта, непълнотата, неразрешимостта. Ето как стоят нещата (тук мога да си позволя непривична за философията категоричност, тъй като става дума за дефиниции): една теория наричаме “непротиворечива”, тогава и само тогава, когато в нея не са изводими всички правилно построени формули (това е еквивалентно на изискването за отсъствие на противоречие, тъй като в негово присъствие всичко е изводимо – ex falsum quodlibet). Твърдението, че една теория е непротиворечива наистина е метатеоретично, защото описва теорията (говори за нея “отвън”). То, обаче, в някои случаи може да бъде формулирано вътре в самата теория: за това е достатъчно да вземем едно твърдение, което разглеждаме като тривиално неистинно (например “0=1”) и да се опитаме да формализираме твърдението за неговата неизводимост. Как става това не е важно, важното е, че може да се направи (чрез гьоделова номерация). По-нататък, една теория наричаме (семантично) “пълна” тогава и само тогава, когато всичките й валидни пропозиции (твърденията в езика й, които са изпълнени – “истинни” - във всеки неин модел) са “теореми” (тоест, са изводими от аксиомите й чрез нейните правила за извод). Съответно, една теория наричаме “разрешима” тогава и само тогава, когато за всяка пропозиция в езика й може да бъде ефективно определено дали тя принадлежи към множеството на теоремите (изводимите пропозиции), или към множеството на не-теоремите (опровержимите пропозиции – това са тези пропозиции, чието отрицание е изводимо). Теоремата на Гьодел показва, че аритметиката на Пеано е непълна – в нейния език може да бъде формулирана пропозиция G, която е истинна, но недоказуема. От това веднага следва, че тя е неразрешима – защото същата тази пропозиция G не е доказуема, но не е и опровержима (ако беше, аритметиката на Пеано би била противоречива). Значи в този случай не-пълнотата имплицира не-разрешимост. Двете понятия обаче не са еквивалентни, защото има теории, които са пълни, но не са разрешими. За твърдението G установяваме, че е неразрешимо, като последователно допускаме, че е теорема и не-теорема и в двата случая получаваме противоречие. Ако темата те интересува, най-добре е да забравиш за моите обяснения и да хвърлиш едно око на някоя книжка, например “Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse” (2005) на Torkel Franzen. Това е едно от най-добрите неща, писани по тези въпроси – accessible, self-contained, precise и т.н. И най-важното - може да се намери в gigapedia.

Поздрави,

Росен

xм, а доказателствата не са ли разкриване-като-тавтология? (поне тези, които минават без пресилени индукции). понеже сме крайни, не страдаме от всеведение, така че когато знаем, примерно, аксиомите на Евклид не знаем още цялата геометрия. ще ми са да вярвам, че препрочитане на Хинтика ще (ми) е от полза тук.

Мисля че голяма част от въпросите и недоразуменията ще отпаднат ако се придължаме към словоупотребата на "тавтология" според техническата и определеност като форма на изказа, която е истинна независимо от стойностите по истинност на своите съставки-това ни пречи да я отъждествим със синонимия, с повторение, с празно повторенвие на вече познати ни съдържания, с очевидност + че отваря вратата към разширяването на теориите, където тавтологията участва чрез надграждане на нови значение и правила.